1. $P$ : $\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{P}$\{k\}
\\[0ex]2. $P$(0)
\\[0ex]3. $\forall$$i$:$\mathbb{N}^{+}$. $P$($i$ {-} 1) $\Rightarrow$ $P$($i$)
\\[0ex]4. $j$ : $\mathbb{Z}$
\\[0ex]5. $j$ $<$ 0
\\[0ex]6. (($j$+1) $\geq$ 0 ) $\Rightarrow$ $P$($j$+1)
\\[0ex]$\vdash$  ($j$ $\geq$ 0 ) $\Rightarrow$ $P$($j$)